Născut în 1983, Cuc a absolvit în 2006 Facultatea de Studii Economice Europene din cadrul Universităţii Româno-Americane.
El a absolvit un masterat în comerţ internaţional în 2008 şi unul în drept în 2012. Din 2009, este doctorand în cadrul Academiei Române.
În perioada 2006-2007, el a lucrat ca expert în cadrul Ministerului Economiei.
Între 2007 şi 2010, Cuc a ocupat aceeaşi poziţie în cadrul Ministerului pentru IMM-uri. Din 2012 până în 2013, el a fost director adjunct al Zonei Libere Giurgiu, iar din 2013 până în 2015 a fost director general.
În octombrie 2015, premierul de atunci, Victor Ponta, l-a numit ca secretar de stat în Ministerul Transporturilor, poziţie din care a coordonat activitatea Companiei Naţională de Autostrăzi şi Drumuri Naţionale din România, scrie News.ro.
În luna mai 2016, prim-ministrul Dacian Cioloş a semnat o decizie prin care Cuc este eliberat din funcţia de secretar de stat.
Răzvan Cuc este un om de încredere al lui Nicolae Bădălău, şeful PSD Giurgiu şi ales în funcţia de preşedinte executiv al PSD la finalul anului trecut, care l-a pus cap de listă pentru Camera Deputaţilor pentru alegerile parlamentare din 11 decembrie 2016.
Potrivit ultimei declaraţii de avere publicate, Cuc deţine, împreună cu soţia sa, Ramona Iordache, un teren de 10,36 hectare din judeţul Giurgiu, un apartament de 33 metri pătraţi (mp) din Bucureşti, o casă de 235,5 mp şi spaţii comerciale de 166 mp în Giurgiu.
În plus, deţine bijuterii din aur şi argint în valoare de 15.000 de euro şi plasamente de peste 333.000 lei la fonduri de investiţii.
În calitate de director general al Zonei Libere Giurgiu, el avea venituri anuale de 33.687 lei, iar soţia sa, executor judecătoresc la Curtea de Apel Bucureşti, a obţinut venituri anuale de 257.949 lei.